Задание 25 ОГЭ по математике: разбор, приёмы и оформление

Что нужно знать о задании 25

Как оценивают:

• 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ;
• 1 балл — решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительная ошибка;
• 0 баллов — во всех остальных случаях.

Разбор основан на проекте демоверсии и спецификации ФИПИ, проверенном 18 октября 2026 года. После выхода утверждённых документов стоит сверить условия и критерии ещё раз.

Пять полезных приёмов для геометрической задачи

1. Продлить биссектрису до пересечения с прямой основания. Получается равнобедренный треугольник: накрест лежащий угол равен половине угла.
2. Провести через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне или диагонали. Трапеция распадается на параллелограмм и треугольник, а с треугольником работать проще.
3. Продлить боковые стороны трапеции до пересечения. Появляются подобные треугольники. Если сумма углов при основании 90°, получается прямоугольный треугольник.
4. Использовать подобие. Например, треугольники, образованные диагоналями трапеции; отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
5. Использовать свойства касательных. Отрезки касательных из одной точки равны. Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной.

Разберём три задачи на первый, третий и пятый приёмы. Числа в задачах наши, но устроены они так же, как задания из банка ФИПИ.

Задача 1. Биссектриса через середину боковой стороны

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 26 и 30, основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Решение.

1. Пусть M — середина AB. Продлим биссектрису DM до пересечения с прямой BC в точке K.
2. ∠CKD = ∠ADK как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей DK. ∠ADK = ∠CDK, потому что DK — биссектриса. Значит, ∠CKD = ∠CDK, и треугольник KCD равнобедренный: KC = CD = 30.
3. Тогда KB = KC − BC = 30 − 1 = 29.
4. Треугольники AMD и BMK равны: AM = MB, ∠AMD = ∠BMK как вертикальные, ∠MAD = ∠MBK как накрест лежащие. Отсюда AD = BK = 29.
5. Проведём через C прямую, параллельную AB, до пересечения с AD в точке P. ABCP — параллелограмм, поэтому CP = AB = 26, AP = BC = 1 и PD = 29 − 1 = 28.
6. Высота трапеции равна высоте треугольника CPD со сторонами 26, 28 и 30, проведённой к стороне PD. Площадь этого треугольника по формуле Герона: p = 42, S = √(42 · 16 · 14 · 12) = 336. Высота h = 2 · 336 / 28 = 24.
7. S(ABCD) = (AD + BC) / 2 · h = (29 + 1) / 2 · 24 = 360.

Ответ: 360.

Полезный вывод: если биссектриса угла D проходит через середину AB, то AD + BC = CD. Это сразу видно из шагов 3–4. В проекте демоверсии ОГЭ-2027 задача устроена так же, только треугольник CPD там прямоугольный.

Задача 2. Сумма углов при основании равна 90°

В трапеции ABCD основания AD = 20 и BC = 6, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите расстояние между серединами оснований.

Решение.

1. Продлим боковые стороны AB и DC до пересечения в точке E. В треугольнике AED ∠A + ∠D = 90°, значит, ∠AED = 90°.
2. Пусть N — середина AD, M — середина BC. EN — медиана прямоугольного треугольника AED, проведённая к гипотенузе, поэтому EN = AD / 2 = 10.
3. Треугольник BEC тоже прямоугольный с прямым углом E, поэтому EM = BC / 2 = 3.
4. Точки E, M и N лежат на одной прямой. Прямая EN пересекает отрезок BC в некоторой точке, и так как BC ∥ AD, она делит BC в том же отношении, в каком N делит AD, то есть пополам. Значит, эта точка и есть M.
5. MN = EN − EM = 10 − 3 = 7.

Ответ: 7.

В общем виде: если сумма углов при большем основании равна 90°, то расстояние между серединами оснований равно полуразности оснований, (AD − BC) / 2.

Задача 3. Отрезки касательных

Стороны треугольника ABC равны: AB = 13, BC = 14, AC = 15. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AB в точке K, а стороны BC — в точке L. Найдите длину отрезка KL.

Решение.

1. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: BK = BL. Полупериметр p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21. Тогда BK = BL = p − AC = 21 − 15 = 6.
2. По теореме косинусов для треугольника ABC: cos B = (13² + 14² − 15²) / (2 · 13 · 14) = 140 / 364 = 5/13.
3. По теореме косинусов для треугольника KBL: KL² = 6² + 6² − 2 · 6 · 6 · 5/13 = 72 · 8/13 = 576/13.
4. KL = 24 / √13 = 24√13 / 13.

Ответ: 24√13 / 13.

Ответ в задании 25 не обязан быть целым. Главное — довести его до простого вида.

Как оформить решение на 2 балла

• Сделайте аккуратный рисунок и обозначьте на нём все точки, которые используете в решении.
• Обосновывайте каждое равенство. Не просто «углы равны», а «углы равны как накрест лежащие при параллельных прямых». Пропущенные обоснования могут сделать решение неполным: эксперт должен понимать, почему верен каждый существенный шаг.
• Не опирайтесь на рисунок. «Видно, что угол прямой» — не аргумент. Прямой угол нужно доказать, например обратной теоремой Пифагора.
• Описывайте дополнительные построения словами: «продолжим DM до пересечения с прямой BC в точке K».
• Запишите ответ отдельной строкой и проверьте, что он отвечает на вопрос задачи. Спрашивают площадь — нужна площадь, а не высота.

Проверьте себя

Задача А. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 20 и 29, основание BC равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Задача Б. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC боковые стороны AB = 6 и CD = 8, основание AD = 15, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите BC.

Как готовиться к заданию 25

К систематической подготовке к заданию 25 удобнее переходить, когда уже уверенно получаются первая часть и задания 23–24. На экзамене сначала выполните доступные вам задания и оставьте время на проверку. Готовиться удобнее всего по приёмам: возьмите один приём, решите на него 5–7 задач из открытого банка ФИПИ и переходите к следующему.

Если геометрия пока даётся тяжело, посмотрите, как мы проводим подготовку к ОГЭ по математике. Начинаем с пробелов в основе и постепенно доходим до второй части.